Derivatans definition exempel Inom matematiken är beräkningar av derivatan en metod att studera och beräkna funktioners förändringar. Derivatan är alltså en funktion, som anger förändringshastigheten hos en annan känd funktion. Eller med andra ord, en funktions derivata beskriver hur mycket funktionens värde förändras i en specifik punkt på grafen som tillhör. Matte 3 Derivatan och grafen Översikt Växande och avtagande funktion Största och minsta värde Andraderivatan Skissa grafer. Vad innebär detta?
Hur deriverar man
En derivata är en funktion som anger förändringshastigheten hos en annan känd funktion. Intuitivt kan en funktions derivata sägas beskriva hur mycket och i vilken riktning funktionens värde förändras då man rör sig från en given punkt. Exempelvis kan positionen för en bil i rörelse beskrivas som en funktion av tiden sedan bilen. Sambandet mellan denna enkla andragradsfunktion och denna andragradsfunktions derivata är inte lika lätt att se som för den enkla förstagradsfunktionen, men så här ser det generella sambandet ut för fallet med enkla andragradsfunktioner:. Har du hittat ett fel, eller har du kommentarer till materialet på den här sidan? Varje inställt värde på volymkontrollen medför en viss effekt ut.Derivata regler Derivera med derivatans definition. Riktningskoefficient: koefficient som anger lutningen i en tangent, k-värdet i \(y= kx+m\) Tangent: en rät linje som bara nuddar en kurva en gång, vi kan också säga att en linje tangerar en kurva och den bara nuddar i en punkt. Denna nolltegradsfunktions derivata blev mycket riktigt lika med 0, som väntat. Vi lär oss beräkna en funktions andraderivata och går igenom hur denna kan användas för att analysera punkter där derivatan är lika med noll.
Deriveringsregler Det finns deriveringsregler som kan härledas utifrån derivatans definition och sedan används för att beräkna derivatan för ett antal vanligt återkommande funktioner. I tidigare avsnitt beräknade vi derivatan i en punkt. Nu skall vi beräkna derivatan för alla x i funktionens hela definitionsmängd. Då ersätter man punkten a med. Om vi har räknat rätt så kommer vi fram till följande samband mellan denna exempelfunktion och dess derivata:. Nu har vi undersökt derivatan för enkla polynomfunktioner av olika gradtal.
Derivata exempel Derivatans definition kan sägas vara ett gränsvärde där vi låter en sekant gå mot att bli en tangent. Man skriver gränsvärdet på följande vis: \lim\limits_ {h \to 0} \frac {f (x+h)-f (x)} {h} h→0lim hf (x+h)−f (x) I bilden är en sekant utritad. Lutningen på sekanten får vi genom. I tidigare avsnitt beräknade vi derivatan i en punkt. Vi börjar med när x är nämnare i en kvot.
Derivata eddler I en maximi-, minimi- eller terrasspunkt så är antingen derivatan noll eller så befinner vi oss i ändpunkten av ett intervall. För ändpunkten av ett intervall gäller att det är en minimipunkt om kurvan är på väg neråt och att det är en maximipunkt om kurvan är på väg uppåt. Matte 3 Algebraiska uttryck Översikt Multiplikation av polynom Andragradsekvationer Faktorisering av polynom Andragradsfunktioner Polynomfunktioner Rationella uttryck Rationella funktioner Gränsvärde Absolutbelopp Geometrisk summa. Men vad händer om vi har en polynomfunktion som innehåller termer av olika gradtal?
Andra derivata Derivatans definition. f ′(x) =h→0lim hf (x+h)−f (x) Du kan själv se hur ändringskvotens värde förändras genom att flytta punkterna A och B närmre varandra. När punkterna sammanfaller, alltså där sekanten förvandlas till en tangent, ser vi att kvotens värde inte kan beräknas. Vi får nämligen division med noll. Derivatan för några andra vanligt förekommande funktioner Vi ska även derivera några andra vanliga funktioner, men utan härledning med hjälp av derivatans definition. På samma sätt som vi såg att vi kunde göra för enkla andragradsfunktioner, kan vi härleda enkla tredjegradsfunktioners derivata.
Derivata formel I tidigare avsnitt beräknade vi derivatan i en punkt. Nu skall vi beräkna derivatan för alla x i funktionens hela definitionsmängd. Då ersätter man punkten a med variabeln x. Derivatan blir då i sig en funktion i samma definitionsmängd. Men innan vi börjar kolla på deriveringsreglerna tar vi en repetition av funktionsbegreppet. Vi börjar med när x är nämnare i en kvot. Innan vi tittar på hur polynomfunktionerna deriveras generellt tittar vi på "nolltegradsfunktionen" det vill säga x 0 som motsvarar funktioner som besår av enbart en konstant term.